Question

10．設(shè)方程e^x+x=a的解為x₁，方程lnx+x=a的解為x₂，則|x₁-x₂|的最小值為1．

Answer 1

分析 此題要求的雖然是絕對值的最小值，但是通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個方程都是非μ常規(guī)的我們不會解的方程類型，所以我們換個思路，運用函數(shù)的思想來解決方程的有關(guān)問題．將方程的解x₁看作是函數(shù)${y}_{1}={e}^{x}$與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)值；將方程的解x₂看作是函數(shù)y₂=lnx與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)值得橫坐標(biāo)；由于函數(shù)y₁，y₂互為反函數(shù)，均與直線y₀有交點，所以兩個交點關(guān)于直線y=x對稱，所以${x}_{2}={e}^{{x}_{1}}$，|x₁-x₂|=$|{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}|$，可看作是函數(shù)${g}_{（x）}={e}^{x}-x$的絕對值，此時問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)絕對值的最小值，又因為其為非常規(guī)函數(shù)，所以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法求解．

解答 解：方程e^x+x=a的解x₁可以看作是函數(shù)${y}_{1}={e}^{x}$與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)值；
方程lnx+x=a的解x₂可以看作是函數(shù)y₂=lnx與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)值；
∵函數(shù)y₁，y₂互為反函數(shù)，且均與函數(shù)y₀有交點，
∴兩個交點關(guān)于直線y=x對稱，∴${x}_{2}={e}^{{x}_{1}}$，
∴${x}_{2}-{x}_{1}={e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}$，
構(gòu)造函數(shù)${g}_{（x）}={e}^{x}-x$，則丨x₁-x₂丨的最小值可以看作函數(shù)丨g_（x）丨的最小值；
我們用導(dǎo)數(shù)的方法一研究其何時取得最小值；
∴函數(shù)${g}_{（x）}={e}^{x}-x$的導(dǎo)數(shù)${{g}^{′}}_{（x）}={e}^{x}-1$，則g′_（x）=0的解為x=0；
∴$|{x}_{1}-{x}_{2}|=|{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}|=|{g}_{（x）}|$，故其最小值為1；
故答案為：1．

點評 這道題充分利用了函數(shù)的性質(zhì)，互逆函數(shù)間的對稱關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值問題．難點在于將方程的解變成是函數(shù)的交點，并采用構(gòu)造函數(shù)的方法研究最值問題．