Question

20．為了增強環(huán)保意識，我校從男生中隨機抽取了60人，從女生中隨機抽取了50人參加環(huán)保知識測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計
男生	40	20	60
女生	20	30	50
總計	60	50	110

（Ⅰ）試判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關；
（Ⅱ）為參加市里舉辦的環(huán)保知識競賽，學校舉辦預選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學通過預選賽的概率為$\frac{2}{3}$，現(xiàn)在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學中選3人參加預選賽，若隨機變量X表示這3人中通過預選賽的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．
附：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.500	0.400	0.100	0.010	0.001
k	0.455	0.708	2.706	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求出K²，由此得到有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關．
（II）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（I）由題意：${K^2}=\frac{{110{{（40×30-20×20）}^2}}}{60×50×60×50}$K²≈7.822K²≈7.822＞6.635，
∴有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關．
（II）由題意X的可能取值為0，1，2，3，
$P（X=0）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1（\frac{2}{3}）{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，
$P（X=2）=C_3^2（\frac{1}{3}）{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（X=3）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

E（X）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+3×\frac{8}{27}$=2．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．