Question

20．為了增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，我校從男生中隨機(jī)抽取了60人，從女生中隨機(jī)抽取了50人參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
男生	40	20	60
女生	20	30	50
總計(jì)	60	50	110

（Ⅰ）試判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；
（Ⅱ）為參加市里舉辦的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，已知在環(huán)保測(cè)試中優(yōu)秀的同學(xué)通過(guò)預(yù)選賽的概率為$\frac{2}{3}$，現(xiàn)在環(huán)保測(cè)試中優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽，若隨機(jī)變量X表示這3人中通過(guò)預(yù)選賽的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.500	0.400	0.100	0.010	0.001
k	0.455	0.708	2.706	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求出K²，由此得到有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．
（II）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（I）由題意：${K^2}=\frac{{110{{（40×30-20×20）}^2}}}{60×50×60×50}$K²≈7.822K²≈7.822＞6.635，
∴有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．
（II）由題意X的可能取值為0，1，2，3，
$P（X=0）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1（\frac{2}{3}）{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，
$P（X=2）=C_3^2（\frac{1}{3}）{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（X=3）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

E（X）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+3×\frac{8}{27}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．