Question

5．已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F″與F關(guān)于x軸對(duì)稱，直線l：y=2與拋物線C₁相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于M點(diǎn)，且$\overrightarrow{F″A}$•$\overrightarrow{FB}$=-5．
（1）求拋物線C₁的方程；
（2）若以F″，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓C₂過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
①求橢圓C₂的方程；
②過點(diǎn)F的直線與橢圓C₂相交于P，Q兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FQ}$，求|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|的值．

Answer 1

分析 （1）用p表示出$\overrightarrow{F″A}$，$\overrightarrow{FB}$的坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積公式列方程解出p即可；
（2）①使用待定系數(shù)法列方程解出橢圓方程；
②設(shè)直線PQ的方程，聯(lián)立方程組得出P，Q的坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FQ}$列方程解出直線PQ的斜率k，求出PQ的中點(diǎn)N，則|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|=|2$\overrightarrow{MN}$|．

解答 解：（1）F（0，$\frac{p}{2}$），F(xiàn)″（0，-$\frac{p}{2}$）．A（-2$\sqrt{p}$，2），B（2$\sqrt{p}$，2）．
∴$\overrightarrow{F″A}$=（-2$\sqrt{p}$，2+$\frac{p}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（2$\sqrt{p}$，2-$\frac{p}{2}$）．
∴$\overrightarrow{F″A}•\overrightarrow{FB}$=-4p+4-$\frac{{p}^{2}}{4}$=-5，解得p=2．
∴拋物線C₁的方程為x²=4y．
（2）①由（1）得F（0，1），F(xiàn)″（0，-1）．設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{\frac{1}{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{4}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴橢圓C₂的方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$．
②設(shè)過點(diǎn)F的直線方程為：y=kx+1，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消元得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$．
∵$\overrightarrow{PF}$=（-x₁，1-y₁），$\overrightarrow{FQ}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FQ}$，
∴-x₁=2x₂，
∴-x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，-2x₂²=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$．
∴2$\frac{4{k}^{2}}{（{k}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}+2}$．解得k²=$\frac{2}{7}$．即k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
設(shè)PQ的中點(diǎn)為N（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
則當(dāng)k=$\frac{\sqrt{14}}{7}$時(shí)，N（-$\frac{\sqrt{14}}{16}$，$\frac{7}{8}$），∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{14}}{16}$，-$\frac{9}{8}$）．
∴|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|=|2$\overrightarrow{MN}$|=2$\sqrt{（\frac{\sqrt{14}}{16}）^{2}+（\frac{9}{8}）^{2}}$=$\frac{13\sqrt{2}}{8}$．
同理可得：當(dāng)k=-$\frac{\sqrt{14}}{7}$，|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|=$\frac{13\sqrt{2}}{8}$．
∴|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|=$\frac{13\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬于中檔題．