Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且,點是棱的中點，平面與棱交于點．

(1)求證：；

(2)若，且平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明AB∥CD，即可證明AB∥面PCD，然后證明AB∥EF；（2） 取AD中點G，連接PG，GB證明AD⊥GB，建立空間直角坐標系G-xyz，設(shè)PA=PD=AD=2，求出相關(guān)點的坐標，分別求出平面AFE，PAF的法向量，利用向量法求解平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值即可．

解：(1)∵底面是菱形，∴，

又∵面，面，

∴面

又∵，，，四點共面，且平面平面，

∴

(2)取中點，連接，，∵，∴，

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，∴，

在菱形中，∵，，是中點，

∴

如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)，

則，， ，，，

又∵，點是棱中點，

∴點是棱中點，

∴，，,

設(shè)平面的法向量為，則有，∴ ，

不妨令，則平面的一個法向量為

∵平面，∴是平面的一個法向量，

∵，

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．