Question

20．若函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域為[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，則稱函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”．下列函數(shù)中：
①g（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{4}$；②h（x）=${log_{\frac{1}{2}}}$（（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$）；③p（x）=$\frac{1}{x}$；④q（x）=lnx．
“和諧函數(shù)”的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)“和諧函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，建立條件關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷即可．

解答 解：由題意知，若f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，須滿足：f（a）=$\frac{a}{2}$，f（b）=$\frac{2}$，
若f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，須滿足：f（b）=$\frac{a}{2}$，f（a）=$\frac{2}$，
①g（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{4}$在[1，+∞）為增函數(shù)；
則f（a）=$\frac{a}{2}$，f（b）=$\frac{2}$，
即a，b是函數(shù)g（x）=$\frac{x}{2}$的兩個根，
即$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{x}{2}$，
則$\sqrt{x-1}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{x}{2}$，
作出函數(shù)y=$\sqrt{x-1}$和y=-$\frac{1}{4}$+$\frac{x}{2}$的圖象如圖：

則兩個函數(shù)有兩個交點，滿足條件．
②h（x）=${log_{\frac{1}{2}}}$（（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$）是增函數(shù)；
則f（a）=$\frac{a}{2}$，f（b）=$\frac{2}$，
即a，b是函數(shù)h（x）=$\frac{x}{2}$的兩個根，
即${log_{\frac{1}{2}}}$（（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$）=$\frac{x}{2}$，
即（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，
作出y=（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$和y=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，的圖象如圖：

則兩個函數(shù)有兩個交點，滿足條件．
③p（x）=$\frac{1}{x}$為減函數(shù)；
則p（b）=$\frac{a}{2}$，p（a）=$\frac{2}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=\frac{2}}\\{\frac{1}=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，即ab=2，當a=$\frac{1}{2}$，b=4時，滿足條件．
④q（x）=lnx在（0，+∞）為增函數(shù)．
則q（a）=$\frac{a}{2}$，q（b）=$\frac{2}$，
即a，b是函數(shù)q（x）=$\frac{x}{2}$的兩個根，
即lnx=$\frac{x}{2}$，
作出y=lnx和y=$\frac{x}{2}$的圖象如圖：

則兩個圖象沒有交點，不滿足條件．
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．