Question

17．求滿足下列條件的函數f（x）．
（1）f（x）是三次函數，且f（0）=3，f′（0）=0，f′（1）=-3，f′（2）=0．
（2）f（x）是二次函數，且x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1對x∈R恒成立．

Answer 1

分析 （1）設出函數解析式f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），由f（0）=3求得d，再求出導函數，結合f′（0）=0，f′（1）=-3，f′（2）=0列式求得a，b，c的值，則函數解析式可求；
（2）由f（x）是二次函數，可設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），代入x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1，整理后比較系數列式求得a，b，c的值，則答案可求．

解答 解：（1）設f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∵f（0）=3，∴d=3，
∴f（x）=ax³+bx²+cx+3，f′（x）=3ax²+2bx+c，
由f′（0）=0，f′（1）=-3，f′（2）=0，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-3，c=0．
∴f（x）=x³-3x²+3；
（2）∵f（x）是二次函數
設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∴f′（x）=2ax+b（a≠0），
由x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1，得x²（2ax+b）-（2x-1）（ax²+bx+c）=1，
即（a-b）x²+（b-2c）x+c-1=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=0}\\{b-2c=0}\\{c-1=0}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=2，c=1．
∴f（x）=2x²+2x+1．

點評 本題考查導數的運算，考查了利用待定系數法求函數解析式，是基礎題．