Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)M（0，2）和它到定直線y=0的距離相等，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過定點(diǎn)M作直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，求△ANB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=4（y-1）}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式能求出△ANB面積的最小值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），
∵動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)M（0，2）和它到定直線y=0的距離相等，
∴$\sqrt{（x-0）^{2}+（y-2）^{2}}$=|y|，
整理，得：x²+y²-4y+4=y²，
即x²=4（y-1）．
∴曲線C的方程為x²=4（y-1）．
（2）∵定點(diǎn)M（0，2），∴直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x=0，不成立．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=4（y-1）}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
△=16k²+16＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（16{k}^{2}+16）}$=4（1+k²），
∵點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，∴N（0，-2），
點(diǎn)N到直線AB的距離d=$\frac{|0+2+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△ANB面積S_△ANB=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{1}{2}×4（1+{k}^{2}）×\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=8$\sqrt{1+{k}^{2}}$≥8，
∴k=0時(shí)，△ANB面積的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．