Question

6．已知Rt△ABC中，周長為定值L，求該三角形面積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因?yàn)長=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，兩次運(yùn)用均值不等式即可求解．

解答 解：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，面積為S，周長L，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=L≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$）²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}{L}^{2}$．
故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L，該三角形的面積最大，且為$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}{L}^{2}$．

點(diǎn)評 利用均值不等式解決實(shí)際問題時，列出有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式或方程式是均值不等式求解或轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．