Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）-1，x＜0\\{log_a}x（a＞0，a≠1），x＞0\end{array}\right.$的圖象上關于y軸對稱的點至少有5對，則實數(shù)的取值范圍是（　　）

• A． .$（0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1）$
• C． $（0，\frac{1}{3}）$
• D． $（\frac{1}{3}，1）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）關于y軸對稱的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：若x＞0，則-x＜0，
∵x＜0時，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
則若f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）關于y軸對稱，
則f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1=f（x），
即y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
設g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0與f（x）=log_ax，x＞0的圖象至少有5個交點，
則0＜a＜1且滿足f（9）＜g（9），
即-2＜log_a9，
即log_a9＞log_aa^-2，
則9＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，作出函數(shù)關于y軸對稱的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．