Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{3ⁿ•a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由題意求出a，b的值，然后直接由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入{3ⁿ•a_n}，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{3ⁿ•a_n}的前n項(xiàng)和．

解答 （1）∵ax²-3x+2＞0的解集為（-∞，1）∪（b，+∞），根據(jù)不等式解集的意義，
可知：方程ax²-3x+2=0的兩根為x₁=1、x₂=b．
利用韋達(dá)定理求得a=1，b=2．
由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可得：b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ ①
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹ ②
由①-②得：-2T_n=2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹+3
=$2•\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-（2n-1）•{3}^{n+1}+3$=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴${T}_{n}=（n-1）•{3}^{n+1}+3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．