Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD中是正方形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，點E是PB的中點，點F在邊BC上移動．
（Ⅰ）若F為BC中點，求證：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）求證：AE⊥PF；
（Ⅲ）若PB=$\sqrt{2}$AB，二面角E-AF-B的余弦值等于$\frac{\sqrt{11}}{11}$，試判斷點F在邊BC上的位置，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形中位線定理及線面平行判定定理即可結(jié)論；
（Ⅱ）通過ABCD是正方形得BC⊥AB，利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，及線面垂直判定定理得BC⊥平面PAB，從而BC⊥AE，再通過線面垂直性質(zhì)定理即得結(jié)論；
（Ⅲ）通過PA=AB，PB=$\sqrt{2}$AB及BC⊥平面PAB，可得AD，AB，AP兩兩垂直，分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角E-AF-B的余弦值轉(zhuǎn)化為各平面的法向量之間的夾角的余弦值，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）在△PBC中，∵點E是PB中點，點F是BC中點，∴EF∥PC，
又∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；
（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，且BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，點E是PB的中點，∴AE⊥PB，
又∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，
∵PF?平面PBC，∴AE⊥PF；
（Ⅲ）結(jié)論：點F為邊BC上靠近B點的三等分點；
理由如下：
∵PA=AB，PB=$\sqrt{2}$AB，∴PA⊥AB，
由（II）知，BC⊥平面PAB，
又∵BC∥AD，∴AD⊥平面PAB，即AD⊥PA，AD⊥AB，
∴AD，AB，AP兩兩垂直，
分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
不妨設(shè)AB=2，BF=m，則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（m，2，0），
于是$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AF}$=（m，2，0），
設(shè)平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（p，q，r），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{q+r=0}\\{mp+2q=0}\end{array}\right.$，
取p=2，則q=-m，r=m，得$\overrightarrow{n}$=（2，-m，m），
由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，
所以AP⊥平面ABCD，即平面ABF的一個法向量為$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
根據(jù)題意，$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{|2m|}{\sqrt{4+2{m}^{2}}×2}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$，解得m=$\frac{2}{3}$，
∵BC=AB=2，
∴BF=$\frac{1}{3}$BC，即點F為邊BC上靠近B點的三等分點．

點評 本題考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量知識是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．