Question

19．某省高中男生升高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高服從正態(tài)分布N（170.5，16），現(xiàn)從該省某高校三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于157.5cm和187.5cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[157.5，162.5]，第二組[162.5，167.5]，…，第六組[182.5，187.5]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（1）求該學(xué)校高三年級男生的平均身高；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）
（2）求被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)；
（3）從被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，記該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能求出該校高三年級男生平均身高．
（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，由此能求出這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)．
（3）由題意隨機變量ξ可取0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得該校高三年級男生平均身高為：
160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5．
（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，人數(shù)為0.2×50=10，
即這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)為10人．
（3）∵P（170.5-3×4＜ξ＜170.5+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
而0.0013×100000=130，
∴全省前130名身高在182.5cm以上，這50人中182.5cm以上的有5人，
隨機變量ξ可取0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
E（ξ）=$0×\frac{2}{9}+1×\frac{5}{9}+2×\frac{2}{9}$=1．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用．