Question

9．設(shè)集合A={（x，y）|x²+y²≤|x|+|y|，x，y∈R}，則集合A所表示圖形的面積為（　�。�

• A． 1+π
• B． 2
• C． 2+π
• D． π

Answer 1

分析 根據(jù)不等式，分別討論x，y的取值，轉(zhuǎn)化為二元二次不等式組，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：若x≥0，y≥0，則不等式等價(jià)為x²+y²≤x+y，即（x-$\frac{1}{2}$）x²+（y-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
若x≥0，y＜0，則不等式等價(jià)為x²+y²≤x-y，即（x-$\frac{1}{2}$）x²+（y+$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
若x≤0，y≤0，則不等式等價(jià)為x²+y²≤-x-y，即（x+$\frac{1}{2}$）x²+（y+$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
若x＜0，y≥0，則不等式等價(jià)為x²+y²≤-x+y，即（x+$\frac{1}{2}$）x²+（y-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
則對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖：
在第一象限內(nèi)圓心坐標(biāo)為C（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半徑=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則三角形OAC的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{4}$圓的面積為$\frac{1}{4}$×$π×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1•}{8}$π，
則一個(gè)弓弧的面積S=$\frac{1•}{8}$π-$\frac{1}{4}$，
則在第一象限的面積S=π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²-2×（$\frac{1•}{8}$π-$\frac{1}{4}$）=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$，
則整個(gè)區(qū)域的面積S=4×（$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$）=2+π，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查區(qū)域面積的計(jì)算，根據(jù)條件利用分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)條件，利用圓的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，比較復(fù)雜．