Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c恒成立，求實數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（1）=f′（-1）=0，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最值，從而求出c的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依題意，f′（1）=f′（-1）=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
f_max（x）=f（-1）=2，
f_min（x）=f（1）=-2，
∵對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4，
所以c≥4，
所以c的最小值為4．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．