Question

8．等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，-6），B（-2，-6），求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)M（1，-6），再利用等邊三角形的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、等邊三角形的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系即可得出．

解答 解：設(shè)C（x，y），∵A（4，-6），B（-2，-6），
∴線段AB的中點(diǎn)M（1，-6），|AB|=$\sqrt{{6}^{2}+0}$=6，
$\overrightarrow{AB}$=（-6，0），$\overrightarrow{MC}$=（x-1，y+6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{AB}=0}\\{|\overrightarrow{MC}|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-6（x-1）=0}\\{\sqrt{（x-1）^{2}+（y+6）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}×6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-6±3\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴C$（1，-6±3\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等邊三角形的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、等邊三角形的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．