Question

18．若關(guān)于x的方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三個(gè)實(shí)根x₁，x₂，x₃，且滿足x₁＜x₂＜x₃，則a的取值范圍為（　�。�

• A． a＞$\frac{5}{27}$
• B． -$\frac{5}{27}$＜a＜1
• C． a＜-1
• D． a＞-1

Answer 1

分析 由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-x²-x，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的極值，即可得到結(jié)論．

解答 解：由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，
設(shè)f（x）=x³-x²-x，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2x-1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)在x=1時(shí)，取得極小值f（1）=1-1-1=-1，
在x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)取得極大值f（-$\frac{1}{3}$）=（-$\frac{1}{3}$）³-（-$\frac{1}{3}$）²-（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$，
要使方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三個(gè)實(shí)根x₁，x₂，x₃，
則-1＜-a＜$\frac{5}{27}$，
即-$\frac{5}{27}$＜a＜1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．