Question

5．如圖1，在梯形狀A(yù)BCD中AD∥BC．AD⊥DC．BC=2AD，四邊形ABEF是矩形，將矩形從ABEF沿AB折起到四邊形ABE₁F₁的位置，使平面ABE₁F₁丄平面ABCD，M為AF₁的中點(diǎn)，如圖2．
（Ⅰ）求證：BE₁⊥DC；
（Ⅱ）求證：DM∥平面BCE₁；
（Ⅲ）判斷直線CD與ME₁的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用線面垂直的定理證明出BE₁⊥平面ABCD，進(jìn)而可推斷出BE₁⊥DC．
（Ⅱ）先證明出AM∥BE₁，然后利用面面平行的判定定理證明出平面ADM∥平面BCE₁．
（Ⅲ）取BC的中點(diǎn)P，CE₁的中點(diǎn)Q，連結(jié)AP，PQ，QM，利用中位線的性質(zhì)證明出PQ∥AM，且PQ=AM，推斷四邊形APQM為平行四邊形和CDMQ為平行四邊形，進(jìn)而推斷出DM∥CQ，證明出四邊形DME₁C是以DM，CE₁為底邊的梯形，進(jìn)而判斷出直線CD與ME₁相交．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABE₁F₁為矩形，
∴BE₁⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABE₁F₁，且平面ABCD∩平面ABE₁F₁=AB，BE₁?平面ABE₁F₁，
∴BE₁⊥平面ABCD．
∵DC?平面ABCD，
∴BE₁⊥DC．
（Ⅱ）∵四邊形ABE₁F₁為矩形，
∴AM∥BE₁，
∵AD∥BC，AD∩AM=A，BC∩BE₁=B，
∴平面ADM∥平面BCE₁．
（Ⅲ）直線CD與ME₁相交，理由如下：
取BC的中點(diǎn)P，CE₁的中點(diǎn)Q，連結(jié)AP，PQ，QM，
∴PQ∥BE₁，且PQ=$\frac{1}{2}$BE₁，
在矩形ABE₁F₁中，M為AF₁的中點(diǎn)，
∴AM∥BE₁，且AM=$\frac{1}{2}$BE₁，
∴PQ∥AM，且PQ=AM．
∴四邊形APQM為平行四邊形．
∴MQ∥AP，MQ=AP．
∵四邊形ABCD為梯形，P為BC的中點(diǎn)，BC=2AD，
∴AD∥PC，AD=PC．
∴四邊形ADCP為平行四邊形，
∴CD∥AP，且CD=AP．
∴CD∥MQ，且CD=MQ．
∴CDMQ為平行四邊形．
∴DM∥CQ，即DM∥CE₁．
∵DM≠CE₁，∴四邊形DME₁C是以DM，CE₁為底邊的梯形．
∴直線CD與ME₁相交．

點(diǎn)評 本題主要考查了線面垂直的判定定理和線面平行，面面平行的判定定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生的空間觀察和想象能力．