Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分別是PD，PB的中點．
（Ⅰ）證明：直線NC∥平面PAD；
（Ⅱ）求平面MNC與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐P-MNC的體積V．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立如圖的空間直角坐標系，通過證明$\overrightarrow{NC}•\overrightarrow{AB}=0$，AB⊥面PAD推出直線NC∥平面PAD．
（Ⅱ）求出面MNC的一個法向量，然后求解平面MNC與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值．
（Ⅲ）設(shè)P到面MNC的距離為d，利用向量求解棱錐的高，然后求解三棱錐P-MNC的體積．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：以A原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立如圖的空間直角坐標系，則：A（0，0，0），B（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），C（2，1，0），P（0，0，2）$\overrightarrow{MN}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{NC}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2，0）$，∵$\overrightarrow{NC}•\overrightarrow{AB}=0$，且AB⊥面PAD，
所以，直線NC∥平面PAD；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$是面MNC的一個法向量，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{MN}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{NC}=0}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（-1，1，0）=0}\\{（x，y，z）•（2，0，-1）=0}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-z=0}\end{array}}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow n=（1，1，2）$，
$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{AP}}\right＞=\frac{（1，1，2）•（0，0，2）}{{|{（1，1，2）}|•|{（0，0，2）}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
故平面MNC與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；
（Ⅲ）$MD=\sqrt{2}$，DC=1，$MC=\sqrt{3}$，$MN=\sqrt{2}$，$NC=\sqrt{5}$，MN⊥MC，
${S_{△MNC}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
設(shè)P到面MNC的距離為d，
則$d=|{\frac{{\overrightarrow{MP}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow n}|}}}|=\frac{（-1，0，1）•（1，1，2）}{{\sqrt{6}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}$，
三棱錐P-MNC的體積$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}×\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{1}{6}$．

點評 本題考查直線與平面垂直，二面角的求法，棱錐的體積的求法，考查計算能力以及邏輯推理能力．