Question

20．過拋物線x²=4y上一點M（x₀，y₀）（x₀＞0）作拋物線的切線與拋物線的準線交于點N（x₁，y₁），則x₀-x₁的最小值為2．

Answer 1

分析 求得函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²的導數(shù)，可得切線的斜率和切線的方程，求出拋物線的準線方程，進而得到N的坐標，再由基本不等式即可得到所求的最小值．

解答 解：由y=$\frac{1}{4}$x²的導數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$x，
過M的切線的斜率為k=$\frac{1}{2}$x₀，切點為（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），（x₀＞0），
即有切線的方程為y-$\frac{1}{4}$x₀²=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
由拋物線的準線為y=-1，
令y₁=-1，可得x₁=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}-2}{{x}_{0}}$，
則x₀-x₁=$\frac{1}{2}$（x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{{x}_{0}•\frac{4}{{x}_{0}}}$=2．
當且僅當x₀=2時，取得最小值2．
故答案為：2．

點評 本題考查拋物線的切線方程的求法，注意運用導數(shù)的幾何意義，同時考查基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．