Question

4．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求證：對任意的λ∈（0，1），都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若直線DE與平面ACE所成角大小為60°，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，推導(dǎo)出AC⊥BD，由三垂線定理能證明AC⊥BE．
（II）推導(dǎo)出SD⊥CD，CD⊥AD，過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連接CF，則∠CFD是二面角C-AE-D 的平面角，由此利用直線DE與平面ACE所成角大小為60°，能求出λ．

解答 證明：（Ⅰ）連接BD，由底面是正方形可得AC⊥BD，
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂線定理得AC⊥BE．
解：（II）∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SAD，
過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，
∴∠CFD是二面角C-AE-D 的平面角，
∵直線DE與平面ACE所成角大小為60°，∴∠CFD=60°，
在Rt△ADE中，∵AD=a，DE=λa，AE=a$\sqrt{{λ}^{2}+1}$，
于是，DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{λa}{\sqrt{{λ}^{2}+1}}$，
在Rt△CDF中，由cot60°=$\frac{DE}{CD}=\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+1}}$，
解得$λ=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面角為60°的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．