Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若在處取到極值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】：

試題分析：（1）根據(jù)極值的概念得到，可得到參數(shù)值；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，研究函數(shù)的單調(diào)性，分時(shí)， 時(shí)， ，三種情況討論單調(diào)性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結(jié)果。

解析：（1），

∵在處取到極值，

∴，即，∴，

經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)， 在處取到極小值.

（2），令（），

1°當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，又，

∴時(shí)， ，不滿足在上恒成立.

2°當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，過.

①當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，∴，從而在上單調(diào)遞增，

又，∴時(shí)， 成立，滿足在上恒成立；

②當(dāng)，即時(shí)，存在，使時(shí)， ， 單調(diào)遞減， 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

∴，又，∴，故不滿足題意.

3°當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為， 在單調(diào)遞減， ，

∴， 在上單調(diào)遞減，又，∴時(shí)， ，故不滿足題意.

綜上所述， .

（3）證明：由（1）知令，當(dāng)時(shí)， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），

∴當(dāng)時(shí)， .即當(dāng)2,3,4，…， ，有

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