Question

6．已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{PB}$|，$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PA}$|，2$\sqrt{3}$成等差數(shù)列．
（1）證明動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，并求出雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0．m≠0）與雙曲線交于不同的兩個(gè)點(diǎn)C，D，且C，D兩點(diǎn)都在以Q（0，-1）為圓心的同一圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{PB}$|，$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PA}$|，2$\sqrt{3}$成等差數(shù)列．可得$|\overrightarrow{PA}|$-$|\overrightarrow{PB}|$=2$\sqrt{3}$＜4=|AB|，利用雙曲線的定義即可得出；
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），線段CD的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）．與雙曲線聯(lián)立化為（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，由△＞0，可得m²+1＞3k²．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₀，y₀．由于C，D兩點(diǎn)都在以Q（0，-1）為圓心的同一圓上，可得k•k_OM=-1，化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 （1）證明：∵動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{PB}$|，$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PA}$|，2$\sqrt{3}$成等差數(shù)列．
∴$2×\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{PA}|$=$|\overrightarrow{PB}|$+2$\sqrt{3}$，∴$|\overrightarrow{PA}|$-$|\overrightarrow{PB}|$=2$\sqrt{3}$＜4=|AB|，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，
c=2，a=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1．
方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=1（x＞0）；
（2）解：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），線段CD的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化為（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
△＞0，化為m²+1＞3k²．
∴x₁+x₂=$\frac{6km}{1-3{k}^{2}}$，∴x₀=$\frac{3km}{1-3{k}^{2}}$．
y₀=kx₀+m=$\frac{m}{1-3{k}^{2}}$，
∴k_OM=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{m+1-3{k}^{2}}{3km}$．
∵C，D兩點(diǎn)都在以Q（0，-1）為圓心的同一圓上，
∴k•k_OM=-1=$k•\frac{m+1-3{k}^{2}}{3km}$，
化為4m+1=3k²，
∴4m+1＜m²+1，
解得m＞4或m＜0．
∴m的取值范圍是（-∞，0）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、圓的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．