Question

8．如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植水果的經(jīng)濟(jì)價值是種植乙水果經(jīng)濟(jì)價值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照．半圓周上的C處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲水果生產(chǎn)的需要，該光源照射范圍是∠ECF=$\frac{π}{6}$，點E，F(xiàn)的直徑AB上，且∠ABC=$\frac{π}{6}$．
（1）若CE=$\sqrt{13}$，求AE的長；
（2）設(shè)∠ACE=α，求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價值時種植甲種水果的面積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，即可求AE的長；
（2）設(shè)∠ACE=α，求出CF，CE，利用S_△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF•sin∠ECF$，計算面積，求出最大值，即可求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價值時種植甲種水果的面積．

解答 解：（1）由題意，△ACE中，AC=4，∠A=$\frac{π}{3}$，CE=$\sqrt{13}$，
∴13=16+AE²-2×$4×AE×\frac{1}{2}$，
∴AE=1或3；
（2）由題意，∠ACE=α∈[0，$\frac{π}{3}$]，∠AFC=π-∠A-∠ACF=$\frac{π}{2}$-α．
在△ACF中，由正弦定理得$\frac{CF}{sinA}=\frac{AC}{sin∠CFA}$，∴CF=$\frac{2\sqrt{3}}{cosα}$；
在△ACE中，由正弦定理得$\frac{CE}{sinA}=\frac{AC}{sin∠AEC}$，∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{sin（\frac{π}{3}+α）}$，
該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價值時，△CEF的面積最大，
S_△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF•sin∠ECF$=$\frac{12}{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴0≤sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴α=$\frac{π}{3}$時，S_△CEF取最大值為4$\sqrt{3}$，該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價值．

點評 本題考查余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．