Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過(guò)這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓O和橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動(dòng)點(diǎn)（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點(diǎn)M，N．求證：∠MQN為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義可得a=2，由題意可得b=c，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，解方程可得b，c，進(jìn)而得到圓和橢圓的方程；
（Ⅱ）方法一：設(shè)出P的坐標(biāo)，得到Q的坐標(biāo)，代入圓和橢圓方程，由AP和BP的方程，求得M，N的坐標(biāo)，再由向量QM，QN，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可證得∠MQN為定值．
方法二、設(shè)P（x₀，y₀），AP：y=k（x+2）（k≠0）．聯(lián)立橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到Q，M的坐標(biāo)，再由BP的方程得到N的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）依題意得$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ c=b\\{a^2}-{b^2}={c^2}.\end{array}\right.$解得：a=2，$b=c=\sqrt{2}$．
所以圓O的方程為x²+y²=2，橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）證法一：如圖所示，設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），Q（x_Q，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{2}=1\\ x_Q^2+y_0^2\;\;=2\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x_0^2=4-2y_0^2\\ x_Q^2=2-y_0^2.\end{array}\right.$，
又由$AP：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$得$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$．
由$BP：y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$得$N（0，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
所以 $\overrightarrow{QM}=（-{x_Q}，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}-{y_0}）=（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，$\overrightarrow{QN}=（-{x_Q}，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}-{y_0}）=（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
所以 $\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=x_Q^2+\frac{x_0^2y_0^2}{x_0^2-4}=2-y_0^2+\frac{（4-2y_0^2）y_0^2}{-2y_0^2}=0$．
所以 QM⊥QN，即∠MQN=90°．
（Ⅱ）證法二：如圖所示，設(shè)P（x₀，y₀），AP：y=k（x+2）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=k（x+2）\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-4=0．
所以 $-2{x_0}=\frac{{8{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，即${x_0}=\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$．
所以 ${y_0}=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}$，即$P（\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{4k}{{2{k^2}+1}}）$．
所以 直線BP的斜率為$\frac{{\frac{4k}{{2{k^2}+1}}}}{{\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}-2}}=-\frac{1}{2k}$．
所以 $BP：y=-\frac{1}{2k}（x-2）$．
令x=0得：M（0，2k），$N（0，\frac{1}{k}）$．
設(shè)Q（x_Q，y₀），則$\overrightarrow{QM}=（-{x_Q}，2k-{y_0}）$，$\overrightarrow{QN}=（-{x_Q}，\frac{1}{k}-{y_0}）$．
所以 $\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=x_Q^2+（2k-{y_0}）（\frac{1}{k}-{y_0}）=x_Q^2+y_0^2+2-\frac{{2{k^2}+1}}{k}•{y_0}$．
因?yàn)?nbsp;$x_Q^2+y_0^2=2，{y_0}=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}$，
所以 $\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$．
所以 QM⊥QN，即∠MQN=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．