Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面ABB₁A₁為正方形，側面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）求證：平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積．

Answer 1

分析 （I）證AB垂直于平面內的兩條相交直線，再由線面垂直⇒面面垂直；
（II）先求得三棱錐B₁-ABC的體積，再利用棱柱是由三個體積相等的三棱錐組合而成來求解．

解答 （Ⅰ）證明：由側面ABB₁A₁為正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面ABB₁A₁，所以平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．…（4分）
（Ⅱ）解：設O是BB₁的中點，連結CO，則CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面ABB₁A₁，且CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
連結AB₁，
則${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△AB{B}_{1}}$•CO=$\frac{1}{6}$AB²•CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（8分）
因${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=2$\sqrt{3}$．…（12分）．

點評 本題考查面面垂直的判定及空間幾何體的體積，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面垂直的判定是關鍵．