Question

14．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，g（x）=-$\frac{1}{x}$，a∈R；
（1）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若h（x）在定義域內(nèi)存在極值，求a的取值范圍；
（2）設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若0＜x₁＜x₂，a≠0，f′（t）=$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$（x₁＜t＜x₂），求證：t＜$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先求出h（x），求出h′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，根據(jù)條件，方程x²-ax+1=0①有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，從而△＞0，并且x=0時(shí)x²-ax+1=1＞0，從而判斷出方程①的小根大于0，這樣能求得a的一個(gè)范圍，和△＞0求得的a的范圍求交集即可；
（2）求f′（x），從而求出f′（t），將x₁，x₂帶入f（x）解析式，從而便得到$t=\frac{{x}_{2}-x}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，從而可作差比較t和$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$的大�。簍$-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=μ$，這樣即可得到$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{[2（μ-1）-（1+μ）lnμ]{x}_{1}}{2lnμ}$，容易判斷只要判斷2（μ-1）-（1+μ）lnμ的符號即可，可設(shè)φ（μ）=2（μ-1）-（1+μ）lnμ，通過兩次求導(dǎo)便可以判斷該函數(shù)為減函數(shù)，從而得出φ（μ）＜0，這樣即得出要證的結(jié)論．

解答 解：（1）h（x）=$x-alnx-\frac{1}{x}$，h′（x）=$1-\frac{a}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$；
∵h(yuǎn)（x）在定義域內(nèi)存在極值；
令x²-ax+1=0，則△=a²-4＞0，即a＞2，或a＜-2；
設(shè)H（x）=x²-ax+1，H（0）=1＞0；
∴方程x²-ax+1=0的小根$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＞0$，解得：a＞2；
∴a的取值范圍為（2，+∞）；
（2）f′（x）=$1-\frac{a}{x}$，∴f′（t）=$1-\frac{a}{t}$；
∴根據(jù)條件$1-\frac{a}{t}=\frac{{x}_{2}-aln{x}_{2}-{x}_{1}+aln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$1-\frac{aln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；
∴$\frac{a}{t}=\frac{aln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；
∵a≠0；
∴$t=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$；
∴$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$；
設(shè)$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=μ$，μ＞1，∴x₂=μx₁；
∴$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{[2（μ-1）-（1+μ）lnμ]{x}_{1}}{2lnμ}$；
∵lnμ＞0，x₁＞0；
所以只需判斷2（μ-1）-（1+μ）lnμ的符號；
設(shè)φ（μ）=2（μ-1）-（1+μ）lnμ，μ＞1；
φ′（μ）=1-$\frac{1}{μ}-lnμ$，φ″（μ）=$\frac{1-μ}{{u}^{2}}$；
∵μ＞1；
∴φ″（μ）＜0；
即φ′（μ）為減函數(shù)，∴φ′（μ）＜φ′（1）=0；
∴φ（μ）為減函數(shù)，∴φ（μ）＜φ（1）=0；
∴$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，即t$＜\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)極值的概念，一元二次方程實(shí)根的情況和判別式△的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象，對數(shù)的運(yùn)算，作差的方法比較兩個(gè)式子的大小，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用．