Question

9．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四個頂點按逆時針排列順序依次為A，B，C，D，若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率e²為（　�。�

• A． $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{8}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• D． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由四邊形ABCD的性質(zhì)，分析可得其內(nèi)切圓的半徑的大小，又有其內(nèi)切圓內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點，即c=r；代入數(shù)據(jù)，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，易得四邊形ABCD為平行四邊形，則其內(nèi)切圓的圓心為坐標原點；
進而分析可得，四邊形ABCD的內(nèi)切圓半徑為Rt△AOB中，斜邊AB上的高，
根據(jù)題意，易得，AO=a，OB=b，則r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．
根據(jù)題意，其內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點，
即c=r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，即a²b²=c²（a²+b²）
又由a²=b²+c²；
則有a²（a²-c²）=c²（2a²-c²），
a⁴-3a²c²+c⁴=0，
解得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
因為橢圓的離心率的取值范圍為0＜e＜1．
所以e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
故選：A．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)，注意將橢圓的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合起來運用，可以簡化運算．