Question

6．已知a＞b＞0，橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，C₁與C₂的離心率之積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則C₂的漸近線方程為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$x±y=0
• B． x±$\sqrt{2}$y=0
• C． 2x±y=0
• D． x±2y=0

Answer 1

分析 通過橢圓與雙曲線的方程可得各自的離心率，化簡即得結(jié)論．

解答 解：∵橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，
∴橢圓C₁的離心率e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$，
∵雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
∴雙曲線C₂的離心率e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，
∵C₁與C₂的離心率之積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{3}{4}$=$[1-（\frac{a}）^{2}][1+（\frac{a}）^{2}]$=1-$（\frac{a}）^{4}$，
又∵a＞b＞0，∴$\frac{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故選：B．

點評 本題考查求橢圓的離心率問題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．