Question

6．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{2e}$，則f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性為（　　）

• A． 先增后減
• B． 單調(diào)遞增
• C． 單調(diào)遞減
• D． 先減后增

Answer 1

分析 根據(jù)$xf′（x）+2f（x）=\frac{lnx}{x}$得到x²f′（x）+2xf（x）=lnx，從而得到[x²f（x）]′=lnx，從而x²f（x）=xlnx-x+c，由條件f（e）=$\frac{1}{2e}$即可求出c，從而求出f（x），然后求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可判斷f（x）的單調(diào)性．

解答 解：∵$xf′（x）+2f（x）=\frac{lnx}{x}$；
∴x²f′（x）+2xf（x）=lnx；
∴[x²f（x）]′=lnx；
∴x²f（x）=xlnx-x+c；
∵$f（e）=\frac{1}{2e}$；
∴${e}^{2}•\frac{1}{2e}=e-e+c$；
∴$c=\frac{e}{2}$；
∴${x}^{2}f（x）=xlnx-x+\frac{e}{2}$；
∴$f（x）=\frac{lnx-1}{x}+\frac{e}{2{x}^{2}}$；
∴$f′（x）=\frac{2x-xlnx-e}{{x}^{3}}$；
令g（x）=2x-xlnx-e，g′（x）=1-lnx；
∴x∈（0，e）時，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0；
∴g（e）=0是g（x）的最大值；
∴f′（x）≤0恒成立；
∴f（x）是減函數(shù)．
故選：C．

點評 考查積的導(dǎo)數(shù)和商的導(dǎo)數(shù)的計算公式，已知一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可以寫出這個函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法與過程，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，注意正確求導(dǎo)．