Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^x-1（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）使f（x）+g（x）有意義，則有x+1＞0，這樣便可得到f（x）+g（x）的定義域；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，以及單調(diào)性的定義即可判斷f（x）+g（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）+g（x）=$lo{g}_{a}（x+1）+{a}^{x-1}$；
∴x+1＞0；
∴x＞-1；
∴函數(shù)f（x）+g（x）的定義域為（-1，+∞）；
（2）①a＞1時，f（x）和g（x）在（-1，+∞）上都單調(diào)遞增；
∴f（x）+g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
②0＜a＜1時，f（x）和g（x）在（-1，+∞）都單調(diào)遞減；
∴f（x）+g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減；
即a＞1時，f（x）+g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，0＜a＜1時，f（x）+g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 考查函數(shù)定義域，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，f（x）+g（x）的單調(diào)性和f（x），g（x）單調(diào)性的關(guān)系．