Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x+1}+^{x+1}}{{a}^{x}+^{x}}$（a＞0，b＞0，a≠b）在R上的單調(diào)性為（　�。�

• A． 增函數(shù)
• B． 減函數(shù)
• C． 不增不減函數(shù)
• D． 與a，b的取值有關(guān)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{{a}^{{x}_{1}+1}{+b}^{{x}_{1}+1}}{{a}^{{x}_{1}}{+b}^{{x}_{1}}}$-$\frac{{a}^{{x}_{2}+1}{+b}^{{x}_{2}+1}}{{a}^{{x}_{2}}{+b}^{{x}_{2}}}$
=$\frac{（a-b）{{（a}^{{x}_{1}}b}^{{x}_{2}}{{-a}^{{x}_{2}}b}^{{x}_{1}}）}{{（a}^{{x}_{1}}{+b}^{{x}_{1}}）{（a}^{{x}_{2}}{+b}^{{x}_{2}}）}$，
=$\frac{{{a}^{{x}_{2}}b}^{{x}_{1}}（a-b）{[（\frac{a}）}^{{x}_{1}{-x}_{2}}-1]}{{（a}^{{x}_{1}}{+b}^{{x}_{1}}）{（a}^{{x}_{2}}{+b}^{{x}_{2}}）}$，
a＞b時(shí)：a-b＞0，$\frac{a}$＞1，0＜${（\frac{a}）}^{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
a＜b時(shí)：a-b＜0，0＜$\frac{a}$＜1，${（\frac{a}）}^{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）在R上遞增，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．