Question

8．求證：以拋物線y²=2px（p＞0）上的任意不同的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不可能是平行四邊形．

Answer 1

分析 假設(shè)拋物線上任意不同的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD是平行四邊形．設(shè)拋物線上的四個(gè)點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），運(yùn)用點(diǎn)滿足方程和直線的斜率公式，可得AB，BC，CD，DA的斜率，再由平行線可得斜率相等，進(jìn)而得到A，C，重合，B，D重合，得到矛盾，即可得證．

解答 證明：假設(shè)拋物線上任意不同的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD是平行四邊形．
設(shè)拋物線上的四個(gè)點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
即有y_i²=2px_i，即x_i=$\frac{{{y}_{i}}^{2}}{2p}$（i=1，2，3，4），
于是k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理可得k_BC=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{3}}$，k_CD=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，k_AD=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$，
由假設(shè)可得k_AB=k_CD，k_BC=k_AD，從而y₁=y₃，y₂=y₄，
進(jìn)而可得x₁=x₃，x₂=x₄，于是A，C重合，B，D重合，
這與A，B，C，D為拋物線上不同的四個(gè)點(diǎn)矛盾，所以假設(shè)不成立．
故拋物線y²=2px（p＞0）上的任意不同的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不可能是平行四邊形

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，考查反證法的運(yùn)用，以及推理能力，屬于中檔題．