Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，短軸的一個端點到右焦點的距離為4．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若“橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b時，則橢圓的面積是πab．”
請針對（1）中求得的橢圓，求解下列問題：
①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，求點P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，求點P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知，先確定a，c的值，進而求出b²，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，則屬于幾何概型，分別計算滿足條件的區(qū)域面積和總的區(qū)域面積，進而可得答案；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，則屬于古典概型，分別計算滿足條件的基本事件個數(shù)和總的基本事件的個數(shù)，進而可得答案；

解答 解：（1）∵短軸的一個端點到右焦點的距離為4，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$a=4，e=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$c=\sqrt{7}$，
∴b²=a²-c²=9，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$．…..（4分）；
（2）①當(dāng)m，n是實數(shù)，且|m|≤4，|n|≤3時，
所有形如（m，n）的點覆蓋的圖形面積是48，
橢圓圍成的區(qū)域在其內(nèi)部，且面積為12π，
故點P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率是$\frac{12π}{48}=\frac{π}{4}$…..（8分）；
②當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤4，|n|≤3時，點P（m，n）共有9×7=63個．…..（10分）；
其中當(dāng)m＞0，n＞0時，點（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，3），（1，3）共7點落在橢圓外，
由對稱性知，當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤4，|n|≤3時，共有4×7=28個點落在橢圓外，又因為在橢圓上的整點有四個，
故點P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率是$\frac{63-28-4}{63}=\frac{31}{63}$…..（16分）．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，概率的計算公式，是圓錐曲線與概率的綜合應(yīng)用，難度中檔．