Question

9．已知Rt△ABC的斜邊AB的長(zhǎng)為4，設(shè)|$\overrightarrow{PC}$|=1，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[-3，5]．

Answer 1

分析 可畫出圖形，取AB中點(diǎn)，并連接CD，從而得到$|\overrightarrow{CD}|=2$，根據(jù)向量加法的幾何意義有$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得到$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=1+4cos＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{CD}＞$，而容易得到$-1≤cos＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{CD}＞≤1$，這樣即可得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

解答 解：如圖，取AB中點(diǎn)D，連接CD，則$|\overrightarrow{CD}|$=2；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$
=${\overrightarrow{PC}}^{2}+\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
=$1+2\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{CD}+0$
=$1+4cos＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{CD}＞$；
∵$0≤＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{CD}＞≤π$；
∴$-1≤cos＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{CD}＞≤1$；
∴$-3≤\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}≤5$；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[-3，5]．
故答案為：[-3，5]．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，向量加法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的概念及范圍，不等式的性質(zhì)．