Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），ω＞0，若f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離大于等于π．
（1）求ω的取值范圍；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，a=$\sqrt{3}$，當(dāng)ω最大時(shí)，f（2A）=1，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinB）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共線，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并根據(jù)二倍角的正余弦公式及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)便可求出f（x）=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，從而得出f（x）的周期為$\frac{π}{ω}$，根據(jù)條件便可得出$\frac{π}{2ω}≥π$，從而求出$ω≤\frac{1}{2}$；
（2）根據(jù)ω最大時(shí)，f（2A）=1便可得到$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，這樣根據(jù)0＜A＜π便可得出A=$\frac{π}{3}$，而根據(jù)$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$共線便可得到$sinC=2sinB=2sin（\frac{2π}{3}-C）$，這樣便可求出C=$\frac{π}{2}$，這樣根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系即可求出b，c．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=co{s}^{2}ωx-si{n}^{2}ωx$$+2\sqrt{3}sinωxcosωx$=$cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$；
∴f（x）的周期為$\frac{π}{ω}$；
f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離大于等于π；
∴$\frac{π}{2ω}≥π$；
∴$ω≤\frac{1}{2}$；
∴ω的取值范圍為$（-∞，\frac{1}{2}]$；
（2）ω最大為$\frac{1}{2}$，此時(shí)f（x）=$2sin（x+\frac{π}{6}）$；
∴$f（2A）=2sin（2A+\frac{π}{6}）=1$；
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$；
∵0＜A＜π；
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$；
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
∵$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線；
∴sinC-2sinB=0；
∴sinC=2sinB；
∴$sinC=2sin（\frac{2π}{3}-C）$=$2sin\frac{2π}{3}cosC-2cos\frac{2π}{3}sinC$=$\sqrt{3}cosC+sinC$；
∴cosC=0，C=$\frac{π}{2}$；
∴$c=\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，b=ccosA=2cos$\frac{π}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，以及形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)的周期公式及對(duì)稱中心，三角形的內(nèi)角和為π，共線向量的坐標(biāo)關(guān)系，以及直角三角形的邊角關(guān)系．