Question

20．武漢地鐵4號線每6分鐘一趟列車，小明同學(xué)每天早晚兩次乘地鐵上學(xué)與回家，每周一至周五上五天學(xué)，如果某天至少有一次等車時間不超過2分鐘，則稱該天為“風(fēng)順”天
（1）求小明某天恰有一次等車時間不超過2分鐘的概率；
（3）記X為小明一周中“風(fēng)順”天的天數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題可知，是與區(qū)間長度有關(guān)的幾何概率的求解，每隔6分鐘就有一趟車經(jīng)過構(gòu)成全部區(qū)域，長度為10，基本事件所構(gòu)成的區(qū)王等車時間不超過2分鐘，長度為2，代入公式可求；
（2）可知小明一周中“風(fēng)順”天的天數(shù)X服從二項分布，然后根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答 解：（1）由題可知，是與區(qū)間長度有關(guān)的幾何概率的求解，設(shè)每次等車時間不超過2分鐘的概率為P₀，
每隔6分鐘就有一趟車經(jīng)過構(gòu)成全部區(qū)域，長度為6，
基本事件所構(gòu)成的區(qū)域是小明某次等車時間不超過2分鐘，長度為2，
代入公式可得P₀=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$；
某天恰有一次等車時間不超過2分鐘的概率：P=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$；
（2）某天為“風(fēng)順”天的概率為：P₂=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{9}$；
依題意得，X～B（5，$\frac{5}{9}$）
∴EX=5×$\frac{5}{9}$=$\frac{25}{9}$

點評 本題主要考查了與區(qū)間長度有關(guān)的幾何概率的求解，離散型隨機變量的概率分布，同時考查了計算能力，屬于中檔題．