Question

14．（1）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（2）設(shè)f（x）=x²-x+1，實數(shù)a滿足|x-a|＜1，求證：|f（x）-f（a）|＜2（|a+1|）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，對x分3種情況討論：①當(dāng)x＜0時，②當(dāng)0≤x＜$\frac{1}{2}$時，③當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時；在各種情況下．去掉絕對值，化為整式不等式，解可得三個解集，進而將這三個解集取并集即得所求．
（2）根據(jù)|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1，證得結(jié)果．

解答 （1）解：根據(jù)題意，對x分3種情況討論：
①當(dāng)x＜0時，原不等式可化為-2x+1＜-x+1，解得x＞0，又x＜0，則x不存在，
此時，不等式的解集為∅．
②當(dāng)0≤x＜$\frac{1}{2}$時，原不等式可化為-2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜$\frac{1}{2}$，
此時其解集為{x|0＜x＜$\frac{1}{2}$}．
③當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時，原不等式化為2x-1＜x+1，解得$\frac{1}{2}$≤x＜2，
又由x≥$\frac{1}{2}$，此時其解集為{x|$\frac{1}{2}$≤x＜2}，
綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．
（2）證明：∵f（x）=x²-x+1，實數(shù)a滿足|x-a|＜1，
故|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質(zhì)，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．