Question

4．在△ABC中，AB=8cm，BC=7cm，AC=5cm，內心為I，則AI的長度為$2\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 設內切圓I與AB，AC相切于D，E，在△ABC中由余弦定理求出cos∠BAC，由角的范圍和特殊角的三角函數值求出∠BAC，由內心的性質求出∠IAD，設內切圓的半徑為r，由等面積法求出r，根據直角三角的正弦函數求出AI的值．

解答 解：設內切圓I與AB，AC相切于D，E
在△ABC中，由余弦定理可得：
cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•AB•AC}$=$\frac{64+25-49}{2×8×5}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC=60°，則∠IAD=30°，
設內切圓的半徑為r，
∵△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}（AB+AC+BC）r=\frac{1}{2}AB•ACsin∠BAC$，
∴$（8+7+5）×r=8×5×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得r=$\sqrt{3}$（cm），
在RT△ADI中，AI=$\frac{DI}{sin∠DAI}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=$2\sqrt{3}$（cm），
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦、余弦定理的綜合應用，三角形內心的性質，以及等面積法的應用，熟練掌握公式和定理是解題的關鍵，考查化簡、計算能力．