Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x+6|-|x-m|）（m∈R）
（Ⅰ）當m=3時，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤7對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（2）根據(jù)絕對值的幾何意義求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當m=3時，f（x）≥5即|x+6|-|x-3|≥5，
①當x＜-6時，得-9≥5，所以x∈∅；
②當-6≤x≤3時，得x+6+x-3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3；
③當x＞3時，得9≥5，成立，所以x＞3．…（4分）
故不等式f（x）≥5的解集為{x|x≥1}．…（5分）
（Ⅱ）因為|x+6|-|m-x|≤|x+6+m-x|=|m+6|，
所以由題意得|m+6|≤7，則-7≤m+6≤7，…（8分）
解得-13≤m≤1，
故m的取值范圍是[-13，1]．…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的幾何意義，分類討論思想，是一道中檔題．