Question

13．已知直線l：y=k（x+1）-$\sqrt{3}$與圓x²+y²=（2$\sqrt{3}$）²交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與x軸交于C、D兩點，若|AB|=4$\sqrt{3}$，則|CD|=$8\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據直線與圓相交，圓x²+y²=（2$\sqrt{3}$）²可知：圓心為（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，弦長為|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，說明直線過圓心．求解k的值．得到直線AB的傾斜角，根據AOC和OBD是兩個全等的直角三角形，OA=OB=2$\sqrt{3}$
即可求出OC和OD．即可得到|CD|的長度．

解答 解：由圓的方程x²+y²=（2$\sqrt{3}$）²可知：圓心為（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，
∵弦長為|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，說明，直線過圓心．
則有：0=k（0-1）-$\sqrt{3}$，解得k=$\sqrt{3}$，
直線AB的方程為：y=$\sqrt{3}$x．
設直線AB的傾斜角為θ，則tanθ=$\sqrt{3}$，
∴θ=60°
Rt△AOC中：|CO|=$\frac{|OA|}{cos60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=$4\sqrt{3}$
那么：|CD|=2|OC|=$8\sqrt{3}$
故答案為：$8\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系的運用，弦長的問題．屬于基礎題．