Question

1．設(shè)向量$\overrightarrow m$=（sin2ωx，cos2ωx），$\overrightarrow n$=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)（即函數(shù)取得最大值的點(diǎn)）為$P（\frac{π}{6}，1）$，在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為$Q（\frac{5π}{12}，0）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的對邊分別是a′b′c′若f（C）=-1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，且a+b=2$\sqrt{3}$，求邊長c．

Answer 1

分析 （I）利用向量的數(shù)量積通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，利用已知條件求解解析式即可．
（II）求出C，利用$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，以及余弦定理即可求出c的值．

解答 解：（I）因?yàn)橄蛄?\overrightarrow m$=（sin2ωx，cos2ωx），$\overrightarrow n$=（cosφ，sinφ），
所以$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ=sin（2ωx+φ），----------------1分
由題意$\frac{T}{4}=\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}∴T=π∴ω=1$，-----------------------------3分
將點(diǎn)$P（\frac{π}{6}，1）$代入y=sin（2x+φ），得$sin（2×\frac{π}{6}+φ）=1$，
所以$φ=\frac{π}{6}+2kπ，（k∈{Z}）$，又因?yàn)?|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$-------------------5分
即函數(shù)的表達(dá)式為$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}），（x∈R）$．---------------------6分
（II）由f（C）=-1，即$sin（2C+\frac{π}{6}）=-1$
又∵0＜C＜π，∴$C=\frac{2π}{3}$------------------------8分
由$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，知$abcosC=-\frac{3}{2}$，
所以ab=3-----------------10分
由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=${（2\sqrt{3}）^2}-2×3-2×3×（-\frac{1}{2}）=9$
所以 c=3----------------------------------------------------12分．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的解法，考查計(jì)算能力．