Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點（a_n，S_n）在直線y=2x-2上，數(shù)列{b_n}滿足2b₁=a₁，b_n+1=b_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由點（a_n，S_n）在直線y=2x-2上，可得S_n=2a_n-2，當(dāng)n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n．由于數(shù)列{b_n}滿足2b₁=a₁，b_n+1=b_n+2利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n．
（II）由（I）可知：c_n=a_nb_n=（2n-1）×2ⁿ，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）∵點（a_n，S_n）在直線y=2x-2上，
∴S_n=2a_n-2，當(dāng)n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
∵數(shù)列{b_n}滿足2b₁=a₁，b_n+1=b_n+2．
∴$_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}$=1，b_n+1-b_n=2，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）由（I）可知：c_n=a_nb_n=（2n-1）×2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．