Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的判斷．

Answer 1

分析 利用作差法．我們可以任取區(qū)間上滿足x₁＜x₂的兩個(gè)實(shí)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（-∞，0]上是減函數(shù)，易判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，即可判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性

解答 解：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則-x₂＜-x₁＜0
又∵f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x₂）=-f（x₂），f（-x₁）=-f（x₁）
∴f（x₂）＜f（x₁），即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．