Question

1．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\sqrt{x}$-1；（2）y=$\frac{5x-1}{4x+2}$；（3）y=5-x+$\sqrt{3x-1}$；（4）y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}$；（5）y=|x+1|+|x-2|

Answer 1

分析 （1）利用$\sqrt{x}$≥0，可得函數(shù)的值域；
（2）利用部分分式法，可得函數(shù)的值域；
（3）利用換元法、結合配方法，可得函數(shù)的值域；
（4）利用基本不等式，可得函數(shù)的值域；
（5）利用絕對值不等式，可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=$\sqrt{x}$-1≥-1，∴函數(shù)的值域為[-1，+∞）；
（2）y=$\frac{5x-1}{4x+2}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{7}{2}$•$\frac{1}{4x+2}$≠$\frac{5}{4}$，∴函數(shù)的值域為（-∞，$\frac{5}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）；
（3）設t=$\sqrt{3x-1}$（t≥0），則x=$\frac{1}{3}$（t²+1），y=5-$\frac{1}{3}$（t²+1）+t=-$\frac{1}{3}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{65}{12}$≤$\frac{65}{12}$，∴函數(shù)的值域為（-∞，$\frac{65}{12}$]；
（4）x=0時，y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}$=0；x≠0時，|y|=|$\frac{3}{x+\frac{4}{x}}$|∈（0，$\frac{3}{4}$]，∴函數(shù)的值域為[-$\frac{3}{4}$，0）∪（0，$\frac{3}{4}$]；
（5）y=|x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3，∴函數(shù)的值域為[3，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的值域，考查部分分式法、換元法、配方法、基本不等式等方法的運用，正確運用方法是關鍵．