Question

17．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=a_n²+2a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=3ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=S₁=，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求；
（Ⅱ）${b_n}=2n•{3^n}$，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}（n∈N*）$．
當(dāng)n=1時(shí)，可得4a₁=4S₁=a₁²+2a₁，
解得a₁=2，
由$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}$，n用n-1代，
兩式相減得${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=2（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
得a_n=2n．對(duì)n=1也成立．
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n；
（Ⅱ）${b_n}=2n•{3^n}$，
錯(cuò)位相減法可以得S_n=2•3+4•3²+…+2n•3ⁿ，
3S_n=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-2S_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=2（$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得S_n=（n-$\frac{1}{2}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，及等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．