Question

7．如圖：$\widehat{BCD}$是直徑為$2\sqrt{2}$的半圓，O為圓心，C是$\widehat{BD}$上一點(diǎn)，且$\widehat{BC}=2\widehat{CD}$．DF⊥CD，且DF=2，$BF=2\sqrt{3}$，E為FD的中點(diǎn)，Q為BE的中點(diǎn)，R為FC上一點(diǎn)，且FR=3RC．
（Ⅰ）求證：面BCE⊥面CDF；
（Ⅱ）求證：QR∥平面BCD；
（Ⅲ）求三棱錐F-BCE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BD⊥DF，DF⊥BC，利用直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面CFD，然后證明面BCE⊥面CDF．
（Ⅱ）連接OQ，通過(guò)證明RQ∥OM，然后證明QR∥平面BCD．
（Ⅲ）利用v_F-BCE=v_F-BCD-v_E-BCD求解幾何體的體積即可．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵DF=2，$BF=2\sqrt{3}$，$BD=2\sqrt{2}$，∴BF²=BD²+DF²，
∴BD⊥DF----------------------（1分）
又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD----------------------（2分）
∴DF⊥BC，
又BC⊥CD，∴BC⊥平面CFD，----------------------（3分）
∵BC?面BCE
∴面BCE⊥面CDF．----------------------（4分）
（Ⅱ）連接OQ，在面CFD內(nèi)過(guò)R點(diǎn)做RM⊥CD，
∵O，Q為中點(diǎn)，∴OQ∥DF，且$OQ=\frac{1}{2}DE$-----------------（5分）
∵DF⊥CD∴RM∥FD，----------------------（6分）
又FR=3RC，∴$\frac{RM}{DF}=\frac{CR}{CF}=\frac{1}{4}$，∴$RM=\frac{1}{4}DF$，
∵E為FD的中點(diǎn)，∴$RM=\frac{1}{2}DE$．----------------------（7分）
∴OQ∥RM，且OQ=RM
∴OQRM為平行四邊形，∵RQ∥OM----------------------（8分）
又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．---------------------（9分）
（Ⅲ）∵$\widehat{BC}=2\widehat{CD}$，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD中有$CD=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{6}$，
∴${v_{F-BCE}}={v_{F-BCD}}-{v_{E-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$--------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用直線與平面平行的判定定理以及幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理計(jì)算能力．