Question

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E為邊DC的中點(diǎn)，AE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AF的長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由AE為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由四邊形ABCD為平行四邊形，得到AD∥BF，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，等量代換及等角對(duì)等邊得到AD=DE，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長(zhǎng)，得出△ADE為等腰三角形，根據(jù)“三線合一”得到G為AE中點(diǎn)，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)，再由△ADE≌△FCE得出AE=FE，即可求出AF的長(zhǎng)．

解答 解：∵AE為∠DAB的平分線，
∴∠DAF=∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠BAF=∠DEA，
∴∠DAF=∠DEA，
∴AD=ED，
又E為DC的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∴AD=DE=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG=$\sqrt{3}$，
則AE=2AG=2$\sqrt{3}$，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠F}\\{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE=FE，
則AF=2AE=4$\sqrt{3}$．
故答案是：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．