Question

7．已知函數(shù)f（3^x-2）=x-1（x∈[0，2]），函數(shù)g（x）=f（x-2）+3．
（1）求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=[g（x）]²+g（x²），試求函數(shù)y=h（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）可令3^x-2=t，從而可解出x=log₃（t+2），從而可以得到f（x）=log₃（x+2）-1，并且x∈[-1，7]，這樣便可求出f（x-2），進(jìn)一步便可得到g（x）=log₃x+2，其中x∈[1，9]；
（2）由g（x）的解析式便可求出g（x²），[g（x）]²，從而便可得到h（x）=$（lo{g}_{3}x+3）^{2}-3$，根據(jù)x的范圍可以求出log₃x的范圍，根據(jù)log₃x的范圍即可求出h（x）的最小值和最大值．

解答 解：（1）令3^x-2=t，∴x=log₃（t+2）；
∵x∈[0，2]；
∴3^x-2∈[-1，7]；
即t∈[-1，7]；
∴f（t）=log₃（t+2）-1；
∴f（x）=log₃（x+2）-1，x∈[-1，7]；
∴f（x-2）=log₃x-1；
∴g（x）=log₃x+2，x∈[1，9]；
（2）[g（x）]²=log²₃x+4log₃x+4，$g（{x}^{2}）=lo{g}_{3}{x}^{2}+2=2lo{g}_{3}x+2$；
∵x∈[1，9]，∴解1≤x²≤9得1≤x≤3；
∴h（x）=log²₃x+6log₃x+6=$（lo{g}_{3}x+3）^{2}-3$；
∵1≤x≤3；
∴0≤log₃x≤1；
∴l(xiāng)og₃x=0時，h（x）取最小值6，log₃x=1時，h（x）取最大值13．

點評 考查換元法求函數(shù)的解析式，換元后要確定新變量的范圍，對數(shù)的運算，在由f（x）求f[g（x）]時，要會求函數(shù)f[g（x）]的定義域，配方求二次式子最值的方法，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．