Question

【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)都在雙曲線上，直線與軸相交于點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為.

（1）求雙曲線的方程，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；

（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn).問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，試求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，其坐標(biāo)為或（3）

【解析】

（1）求得雙曲線的漸近線方程，可得，由題意可得，，可得雙曲線的方程，求出直線的方程，可令，求得的坐標(biāo)；（2）求得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，直線方程，令，可得的坐標(biāo)，假設(shè)存在，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為，結(jié)合在雙曲線上，化簡整理，即可得到定點(diǎn)；（3）設(shè)出直線的方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量數(shù)量積的性質(zhì)，可得向量，的數(shù)量積為0，化簡整理，解方程可得的值，檢驗(yàn)判別式大于0成立，進(jìn)而得到直線的方程．

解：（1）由已知，得,故雙曲線的方程為

為直線AM的一個(gè)方向向量，

直線AM的方程為它與軸的交點(diǎn)為

（2）由條件，得且為直線AN的一個(gè)方向向量，

故直線AN的方程為它與軸的交點(diǎn)為

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得,則

由及得

故即存在定點(diǎn)，其坐標(biāo)為或滿足題設(shè)條件.

（3）由知，以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長相等，故此四邊形為矩形，從而

由已知，可設(shè)直線的方程為并設(shè)

則由得

由及得且（*）

由

得

故符合約束條件（*）.

因此，所求直線的方程為