Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式首先求得函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義確定函數(shù)的奇偶性即可；
（2）此函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)的定義域整理計算即可證得函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）函數(shù)有意義，則：$\frac{1+x}{1-x}＞0$，求解關(guān)于實數(shù)x的不等式可得-1＜x＜1，所以函數(shù)的定義域是（-1，1），函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，
且 $f（-x）=ln\frac{1-x}{1+x}=-ln\frac{1+x}{1-x}=-f（x）$，故函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）此函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=ln\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}-ln\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}=ln\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$，
由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，
可得 $\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}＞1$，
所以$ln\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}＞0$，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)在定義域是減函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域的求解等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．